Inégalité et multiplications

Propriété

Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres réels.
On a : \((a\leq b\) et \(\color{red}{c>0}) \implies ac\leq bc\)
"Multiplier chaque membre d'une inégalité par un même nombre positif ne modifie pas le sens de cette inégalité."

Démonstration

Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres réels.
\(a\leq b \Leftrightarrow a+(-b)\leq b+(-b)\Leftrightarrow a-b\leq 0\)
\(ac-bc=c(a-b)\) or \(c\geq0\) et \(a-b\leq0\) donc, d'après la règle des signes, on obtient \(c(a-b)\leq 0\).
On a alors \(ac-bc\leq 0 \Leftrightarrow ac-bc+bc\leq 0+bc\Leftrightarrow ac\leq bc\).

Exemples

\(x\leq 4\Leftrightarrow2x\leq 2\times 4\Leftrightarrow 2x\leq 8\)
\(x\geq -2\Leftrightarrow 5x\geq 5\times (-2)\Leftrightarrow5x\geq -10\)

Propriété

Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres réels.
On a : \((a\leq b\) et  \(\color{red}{c<0}) \implies ac\color{red}\geq bc\).
"Multiplier chaque membre d'une inégalité par un même nombre négatif change le sens de cette inégalité."

Exemples

\(x\leq 3\Leftrightarrow-1\times x\color{red}\geq -1\times 3\Leftrightarrow -x\color{red}\geq-3\)
\(x\geq -6\Leftrightarrow-2x\color{red}\leq-2\times (-6)\Leftrightarrow-2x\color{red}\leq12\)